Cambridge AS & A Level. 2025. Toán (9709). Tháng 5–6 - Paper 3 (31) · Toán thuần túy 3

**(a)** Phác họa đồ thị (sketch the graph) của hàm số $y = |2x-3|$.

**(b)** Giải bất phương trình $3x-1 \lt |2x-3|$.

Cho biết $2\ln p + \ln(p-1) - \frac{1}{2}\ln(q+1) = 3$.

Tìm $q$ theo $p$.

Tìm các số phức $z$ sao cho $\dfrac{z+5\mathrm{i}}{z-5}$ là số thực và $|z| = \sqrt{17}$. Viết đáp án dưới dạng $z = x+\mathrm{i}y$, với $x$ và $y$ là số thực.

Một đường cong có phương trình tham số (parametric equations)

$x = \mathrm{e}^{\tan t}, \quad y = 3\tan^2 t.$

Tìm phương trình tiếp tuyến (tangent) của đường cong tại điểm $(\mathrm{e}; 3)$. Viết đáp án dưới dạng $y = mx+c$, trong đó $m$ và $c$ là giá trị chính xác.

Đa thức $3x^3+pax^2+7a^2x+qa^3$ được ký hiệu là $\mathrm{f}(x)$, trong đó $p$, $q$ và $a$ là các hằng số và $a \ne 0$.

Khi chia $\mathrm{f}(x)$ cho $(x+2a)$ thì số dư là $-22a^3$. Khi chia $\mathrm{f}(x)$ cho $(3x-a)$ thì số dư là $-a^3$.

Tìm giá trị của $p$ và $q$.

Cho $z_1 = 3\mathrm{e}^{\frac{1}{4}\pi\mathrm{i}}$, $z_2 = \frac{3}{2}\mathrm{e}^{\frac{1}{6}\pi\mathrm{i}}$ và $\omega = 2\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\pi\mathrm{i}}$.

**(a)** Nêu giá trị của $\omega z_1$ và $\omega z_2$. Viết đáp án dưới dạng $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, với $r \gt 0$ và $-\pi \lt \theta \le \pi$.

Cho $z_1 = 3\mathrm{e}^{\frac{1}{4}\pi\mathrm{i}}$, $z_2 = \frac{3}{2}\mathrm{e}^{\frac{1}{6}\pi\mathrm{i}}$ và $\omega = 2\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\pi\mathrm{i}}$.

**(b)** Trên một hình phác họa mặt phẳng phức (Argand diagram) gốc $O$, biểu diễn các điểm $A$, $B$, $C$ và $D$ lần lượt ứng với các số phức $z_1$, $z_2$, $\omega z_1$ và $\omega z_2$.

(Ở câu (a) đã tìm được $\omega z_1 = 6\mathrm{e}^{\frac{3}{4}\pi\mathrm{i}}$ và $\omega z_2 = 3\mathrm{e}^{\frac{2}{3}\pi\mathrm{i}}$.)

Cho $z_1 = 3\mathrm{e}^{\frac{1}{4}\pi\mathrm{i}}$, $z_2 = \frac{3}{2}\mathrm{e}^{\frac{1}{6}\pi\mathrm{i}}$ và $\omega = 2\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\pi\mathrm{i}}$.

**(c)** Nêu tác dụng hình học (geometric effects) của việc nhân $z_1$ và $z_2$ với $\omega$.

**(a)** Biểu diễn $5\sin\left(x+\frac{1}{6}\pi\right)-4\cos x$ dưới dạng $R\sin(x-\alpha)$, với $R \gt 0$ và $0 \lt \alpha \lt \frac{1}{2}\pi$. Nêu giá trị chính xác của $R$ và giá trị của $\alpha$ làm tròn đến 3 chữ số thập phân.

**(b)** Từ đó, giải phương trình $5\sin\left(2\theta+\frac{1}{6}\pi\right)-4\cos 2\theta = \sqrt{7}$ với $0 \le \theta \le \pi$. Làm tròn đáp án đến 2 chữ số thập phân.

(Ở câu (a) đã tìm được $5\sin\left(x+\frac{1}{6}\pi\right)-4\cos x = \sqrt{21}\sin(x-\alpha)$ với $\alpha = 0{,}333$.)

Đối với gốc tọa độ $O$, các điểm $A$ và $B$ lần lượt có vectơ vị trí (position vectors) $2\mathbf{i}+4\mathbf{k}$ và $5\mathbf{i}+\mathbf{j}+6\mathbf{k}$. Đường thẳng $l_1$ đi qua hai điểm $A$ và $B$.

**(a)** Tìm một phương trình vectơ của đường thẳng $l_1$.

Đối với gốc tọa độ $O$, các điểm $A$ và $B$ lần lượt có vectơ vị trí (position vectors) $2\mathbf{i}+4\mathbf{k}$ và $5\mathbf{i}+\mathbf{j}+6\mathbf{k}$. Đường thẳng $l_1$ đi qua hai điểm $A$ và $B$.

Đường thẳng $l_2$ có phương trình $\mathbf{r} = 2\mathbf{i}+\mathbf{j}+5\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k})$.

(Ở câu (a) đã tìm được $l_1$: $\mathbf{r} = 2\mathbf{i}+4\mathbf{k}+\lambda(3\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$.)

**(b)** Chứng minh rằng $l_1$ và $l_2$ **không** cắt nhau.

Đối với gốc tọa độ $O$, các điểm $A$ và $B$ lần lượt có vectơ vị trí (position vectors) $2\mathbf{i}+4\mathbf{k}$ và $5\mathbf{i}+\mathbf{j}+6\mathbf{k}$. Đường thẳng $l_1$ đi qua hai điểm $A$ và $B$.

Đường thẳng $l_2$ có phương trình $\mathbf{r} = 2\mathbf{i}+\mathbf{j}+5\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k})$.

(Ở câu (a) đã tìm được $l_1$: $\mathbf{r} = 2\mathbf{i}+4\mathbf{k}+\lambda(3\mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k})$.)

**(c)** Tìm góc nhọn giữa các phương của $l_1$ và $l_2$.

Hằng số $a$ thỏa mãn $\displaystyle\int_1^a 6x\ln x\,\mathrm{d}x = 4$.

**(a)** Chứng minh rằng $a = \exp\left(\frac{1}{6}\left(\frac{5}{a^2}+3\right)\right)$, trong đó $\exp(x)$ ký hiệu $\mathrm{e}^x$.

Hằng số $a$ thỏa mãn $\displaystyle\int_1^a 6x\ln x\,\mathrm{d}x = 4$.

(Ở câu (a) đã chứng minh $a = \exp\left(\frac{1}{6}\left(\frac{5}{a^2}+3\right)\right)$.)

**(b)** Kiểm tra bằng tính toán rằng $a$ nằm giữa 2 và 2,1.

Hằng số $a$ thỏa mãn $\displaystyle\int_1^a 6x\ln x\,\mathrm{d}x = 4$.

(Ở câu (a) đã chứng minh $a = \exp\left(\frac{1}{6}\left(\frac{5}{a^2}+3\right)\right)$.)

**(c)** Dùng công thức lặp (iterative formula) dựa trên phương trình ở câu **(a)** để xác định $a$ chính xác đến 2 chữ số thập phân. Ghi kết quả mỗi lần lặp với 4 chữ số thập phân.

**(a)** Tìm thương và số dư khi chia $x^3+5x^2-2x-15$ cho $x^2-3$.

**(b)** Các biến $x$ và $y$ thỏa mãn phương trình vi phân (differential equation)

$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{x^3+5x^2-2x-15}{6y(x^2-3)}.$

Biết $y = 2$ khi $x = 2$.

Giải phương trình vi phân để tìm biểu thức của $y^2$ theo $x$.

(Ở câu (a) đã tìm được $x^3+5x^2-2x-15 = (x+5)(x^2-3)+x$.)

Hình vẽ biểu diễn đường cong $y = \cos x\sqrt{\sin 2x}$ với $0 \le x \le \frac{1}{2}\pi$. Đường cong có điểm cực đại (maximum point) tại $M$, với $x = a$.

**(a)** Tìm giá trị chính xác của $a$.