Cambridge AS & A Level. 2025. Toán (9709). Tháng 5–6 - Paper 1 (12) · Toán thuần túy 1

Hình vẽ cho đồ thị của các hàm số $y = \mathrm{f}(x)$ và $y = \mathrm{g}(x)$.

Mô tả đầy đủ một dãy gồm hai phép biến đổi (transformations) biến đồ thị $y = \mathrm{f}(x)$ thành đồ thị $y = \mathrm{g}(x)$. Nêu rõ thứ tự thực hiện các phép biến đổi.

Tìm tọa độ các giao điểm của đường cong và đường thẳng có phương trình

$$2xy + 5y^2 = 24 \quad \text{và} \quad 2x + y + 4 = 0.$$

Hệ số (coefficient) của $x^7$ trong khai triển nhị thức (binomial expansion) $\left(px^2 + \dfrac{4}{p}x\right)^5$ bằng 1280.

Tìm giá trị của hằng số $p$.

Một điểm $P$ chuyển động trên đường cong có phương trình $y = ax^{\frac{3}{2}} - 12x$ sao cho hoành độ của $P$ tăng với tốc độ không đổi 5 đơn vị mỗi giây.

**(a)** Tìm tốc độ biến thiên (rate of change) của tung độ của $P$ khi $x = 9$. Viết đáp án theo hằng số $a$.

Một điểm $P$ chuyển động trên đường cong có phương trình $y = ax^{\frac{3}{2}} - 12x$ sao cho hoành độ của $P$ tăng với tốc độ không đổi 5 đơn vị mỗi giây.

**(b)** Biết đường cong có điểm cực tiểu (minimum point) tại $x = \frac{1}{4}$, tìm giá trị của $a$.

Đường cong có phương trình $y = 4\cos 2x + 3$ với $0 \le x \le 2\pi$.

**(a)** Nêu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể của $y$.

Đường cong có phương trình $y = 4\cos 2x + 3$ với $0 \le x \le 2\pi$.

**(b)** Phác họa (sketch) đường cong.

Đường cong có phương trình $y = 4\cos 2x + 3$ với $0 \le x \le 2\pi$.

**(c)** Từ đó, xác định số nghiệm của phương trình $4\cos 2x + 3 = 2x - 1$ với $0 \le x \le 2\pi$.

(Ở phần (b) em đã phác họa $y = 4\cos 2x + 3$: hai chu kỳ, cực đại 7 tại $x = 0, \pi, 2\pi$ và cực tiểu −1 tại $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.)

Hình vẽ cho đường cong có phương trình $y = \dfrac{9}{(5x+4)^{\frac{1}{2}}}$ và đường thẳng $y = 6 - 3x$. Đường thẳng và đường cong cắt nhau tại điểm $P$ có tung độ bằng 3.

Tính diện tích phần được tô đậm.

**(a)** Chứng minh đồng nhất thức (identity) $\dfrac{\tan\theta + 7}{\tan^2\theta - 3} \equiv \dfrac{\sin\theta\cos\theta + 7\cos^2\theta}{1 - 4\cos^2\theta}$.

**(b)** Từ đó, giải phương trình $\dfrac{\sin\theta\cos\theta + 7\cos^2\theta}{1 - 4\cos^2\theta} = \dfrac{5}{\tan\theta}$ với $0° \le \theta \le 180°$.

(Ở phần (a) em đã chứng minh $\dfrac{\tan\theta + 7}{\tan^2\theta - 3} \equiv \dfrac{\sin\theta\cos\theta + 7\cos^2\theta}{1 - 4\cos^2\theta}$.)

Hình vẽ cho đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 - 14x + 8y + 36 = 0$ và đường thẳng $y = -2$. Đường thẳng cắt đường tròn tại các điểm $A$ và $B$. Tâm đường tròn là $C$.

**(a)** Tìm tọa độ của $A$, $B$ và $C$.

Hình vẽ cho đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 - 14x + 8y + 36 = 0$ và đường thẳng $y = -2$. Đường thẳng cắt đường tròn tại các điểm $A$ và $B$. Tâm đường tròn là $C$.

**(b)** Tìm góc $ACB$ theo radian. Làm tròn đến 3 chữ số có nghĩa. (Ở phần (a) em đã tìm được $A(2, -2)$, $B(12, -2)$ và $C(7, -4)$.)

(đáp án tính bằng radian)

Hình vẽ cho đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 - 14x + 8y + 36 = 0$ và đường thẳng $y = -2$. Đường thẳng cắt đường tròn tại các điểm $A$ và $B$. Tâm đường tròn là $C$.

**(c)** Dây cung (chord) $AB$ chia hình tròn thành hai hình viên phân (segments).

Tính diện tích hình viên phân lớn hơn. (Ở phần (a) em đã tìm được $A(2, -2)$, $B(12, -2)$ và $C(7, -4)$.) (Ở phần (b) em đã tìm được góc $ACB = 2.38$ radian, làm tròn 3 chữ số có nghĩa.)

Một đường cong có $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{24}{x^3}$. Biết đường cong có một điểm dừng (stationary point) tại $(-2, 19)$.

**(a)** Tìm biểu thức của $\dfrac{dy}{dx}$.

Một đường cong có $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{24}{x^3}$. Biết đường cong có một điểm dừng (stationary point) tại $(-2, 19)$.

**(b)** Tìm hoành độ của điểm dừng còn lại của đường cong và xác định tính chất (cực đại hay cực tiểu) của điểm dừng này.

(Ở phần (a) em đã tìm được $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12}{x^2} - 3$.)

Một đường cong có $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{24}{x^3}$. Biết đường cong có một điểm dừng (stationary point) tại $(-2, 19)$.

**(c)** Tìm phương trình của đường cong.

(Ở phần (a) em đã tìm được $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12}{x^2} - 3$.)

Một đường cong có $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{24}{x^3}$. Biết đường cong có một điểm dừng (stationary point) tại $(-2, 19)$.

**(d)** Tìm phương trình pháp tuyến (normal) của đường cong tại điểm có $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{9}{4}$ và $x$ dương. Viết đáp án dưới dạng $px + qy + r = 0$, với $p$, $q$, $r$ là các số nguyên.

(Ở phần (a) và (c) em đã tìm được $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{12}{x^2} - 3$ và $y = -\dfrac{12}{x} - 3x + 7$.)

**(a)** Số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của một cấp số cộng (arithmetic progression) lần lượt là $4k$, $k^2$ và $8k$, với $k$ là hằng số khác 0.

**(i)** Tìm giá trị của $k$.

**(a)** Số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ ba của một cấp số cộng (arithmetic progression) lần lượt là $4k$, $k^2$ và $8k$, với $k$ là hằng số khác 0.

**(ii)** Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

(Ở phần (i) em đã tìm được $k = 6$.)