Cambridge AS & A Level. 2025. Toán (9709). Tháng 5–6 - Paper 1 (13) · Toán thuần túy 1

Một đường cong có phương trình $y = 2x + \dfrac{12}{x^2}$.

Tìm phương trình tiếp tuyến (tangent) của đường cong tại điểm $(-2, -1)$. Viết đáp án dưới dạng $y = mx + c$.

Hai số hạng đầu của một cấp số nhân (geometric progression) là

$4\sin^2\theta,\quad 8\sin^3\theta,$

trong đó $\theta$ là góc thỏa mãn $0 \lt \theta \lt \frac{1}{6}\pi$.

Biết tổng vô hạn (sum to infinity) của cấp số nhân bằng $\frac{1}{2}$, tìm giá trị của $\theta$. Viết đáp án dưới dạng $\sin^{-1}k$, trong đó $k$ là số hữu tỉ.

Cho $\displaystyle\int_1^3 \left(\frac{a}{(4x-3)^2} + 2\right)dx = 12$, tìm giá trị của hằng số $a$.

**(a)** Tìm ba số hạng đầu trong khai triển nhị thức (binomial expansion) của $\left(2 - \frac{3}{2}x\right)^5$ theo lũy thừa tăng dần của $x$.

**(b)** (Ở ý (a) ta tìm được ba số hạng đầu của khai triển $\left(2 - \frac{3}{2}x\right)^5$ là $32 - 120x + 180x^2$.)

Dùng kết quả ý (a) với một giá trị $x$ thích hợp để tìm giá trị gần đúng của $1.985^5$.

Giải phương trình

$4\sin\theta\tan\theta = 1 + 5\cos\theta$

với $-180^\circ \lt \theta \lt 180^\circ$.

Một cấp số cộng (arithmetic progression) có số hạng đầu $a$ và công sai (common difference) bằng 2. Số hạng thứ $N$ bằng 55 và tổng $3N$ số hạng đầu bằng 5760.

Tìm $N$ và $a$.

Một đường cong có $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 10x - 8$.

**(a)** Tìm tập các giá trị của $x$ mà tại đó $y$ giảm khi $x$ tăng (hàm số nghịch biến).

Một đường cong có $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 10x - 8$.

**(b)** (Ở ý (a) ta tìm được $y$ giảm khi $-4 \lt x \lt \frac{2}{3}$.)

Biết điểm cực đại (maximum point) của đường cong có tung độ bằng 27.

Tìm phương trình của đường cong.

Hình vẽ cho hình vuông $ABCD$ có mỗi cạnh dài 12 cm. Các điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên cạnh $BC$ và $CD$ sao cho $BE = \frac{1}{3}BC$ và $DF = \frac{1}{3}DC$. Cung (arc) $EF$ là một phần của đường tròn tâm $A$. Miền tô đậm được giới hạn bởi cung $EF$ và các đoạn thẳng $EC$, $FC$.

**(a)** Chứng minh rằng góc $EAF$ bằng 0.9273 radian, làm tròn đến 4 chữ số có nghĩa.

Hình vẽ cho hình vuông $ABCD$ có mỗi cạnh dài 12 cm. Các điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên cạnh $BC$ và $CD$ sao cho $BE = \frac{1}{3}BC$ và $DF = \frac{1}{3}DC$. Cung (arc) $EF$ là một phần của đường tròn tâm $A$. Miền tô đậm được giới hạn bởi cung $EF$ và các đoạn thẳng $EC$, $FC$.

**(b)** (Ở ý (a) ta đã chứng minh góc $EAF = 0.9273$ radian.)

Tính chu vi của miền tô đậm.

Hình vẽ cho hình vuông $ABCD$ có mỗi cạnh dài 12 cm. Các điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên cạnh $BC$ và $CD$ sao cho $BE = \frac{1}{3}BC$ và $DF = \frac{1}{3}DC$. Cung (arc) $EF$ là một phần của đường tròn tâm $A$. Miền tô đậm được giới hạn bởi cung $EF$ và các đoạn thẳng $EC$, $FC$.

**(c)** (Ở ý (a) ta đã chứng minh góc $EAF = 0.9273$ radian.)

Tính diện tích miền tô đậm.

Ba điểm $P$, $Q$, $R$ có tọa độ $P(-13, 5)$, $Q(5, 1)$ và $R(2, k)$, trong đó $k$ là hằng số. Biết góc $PRQ$ là góc vuông.

**(a)** Chứng minh rằng một giá trị có thể của $k$ là 10, và tìm giá trị còn lại.

Ba điểm $P$, $Q$, $R$ có tọa độ $P(-13, 5)$, $Q(5, 1)$ và $R(2, k)$, trong đó $k$ là hằng số. Biết góc $PRQ$ là góc vuông.

**(b)** Bây giờ cho $k = 10$. Một đường tròn đi qua ba điểm $P$, $Q$ và $R$.

Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại $R$. Viết đáp án dưới dạng $ax + by + c = 0$, với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên.

Một đường cong $C$ có phương trình $y = \dfrac{9}{2x - 5} + 2x - 5$.

**(a)** Tìm tọa độ hai điểm dừng (stationary points).

Một đường cong $C$ có phương trình $y = \dfrac{9}{2x - 5} + 2x - 5$.

**(b)** (Ở ý (a) ta tìm được hai điểm dừng là $(1, -6)$ và $(4, 6)$.)

Tìm $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ và từ đó xác định tính chất (cực đại/cực tiểu) của mỗi điểm dừng.

Một đường cong $C$ có phương trình $y = \dfrac{9}{2x - 5} + 2x - 5$.

**(c)** Đường cong $C$ được biến thành đường cong $C_1$ bằng phép tịnh tiến (translation) theo vectơ $\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$, sau đó là phép đối xứng qua trục $x$ (reflection in the $x$-axis).

(Các điểm dừng của $C$ là điểm cực đại $(1, -6)$ và điểm cực tiểu $(4, 6)$.)

**(i)** Nêu tọa độ điểm cực đại của $C_1$.

Viết đáp án dạng $(x, y)$.

Một đường cong $C$ có phương trình $y = \dfrac{9}{2x - 5} + 2x - 5$.

**(c)** Đường cong $C$ được biến thành đường cong $C_1$ bằng phép tịnh tiến (translation) theo vectơ $\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}$, sau đó là phép đối xứng qua trục $x$ (reflection in the $x$-axis).

**(ii)** Tìm phương trình của $C_1$ dưới dạng $y = \dfrac{a}{bx + c} + dx + e$, trong đó $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ là các số nguyên.

Hàm số f được xác định bởi $\text{f}(x) = x^2 + 4ax + a$ với $x \in \mathbb{R}$, trong đó $a$ là hằng số.

Hàm số g thỏa mãn $\text{g}^{-1}(x) = \sqrt[3]{2x - 4}$ với $x \in \mathbb{R}$ ($\text{g}^{-1}$ là hàm ngược (inverse function) của g).

**(a)** Biết tập giá trị (range) của f là $\text{f}(x) \ge -33$, tìm các giá trị có thể của $a$.

Hàm số f được xác định bởi $\text{f}(x) = x^2 + 4ax + a$ với $x \in \mathbb{R}$, trong đó $a$ là hằng số.

Hàm số g thỏa mãn $\text{g}^{-1}(x) = \sqrt[3]{2x - 4}$ với $x \in \mathbb{R}$ ($\text{g}^{-1}$ là hàm ngược (inverse function) của g).

**(b)** Giả sử thay vào đó $\text{fgg}(0) = 96$ (hàm hợp (composite function) $\text{f}(\text{g}(\text{g}(0)))$), tìm giá trị của $a$.