Cambridge AS & A Level. 2025. Toán (9709). Tháng 5–6 - Paper 1 (11) · Toán thuần túy 1

Giải phương trình $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ với $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Một đường cong có $\dfrac{dy}{dx} = 4(2x-5)^3 - 9x^{\frac{1}{2}}$. Đường cong đi qua điểm $A\left(4, -\frac{11}{2}\right)$.

**(a)** Tìm hệ số góc (gradient) của pháp tuyến (normal) với đường cong tại điểm *A*.

Một đường cong có $\dfrac{dy}{dx} = 4(2x-5)^3 - 9x^{\frac{1}{2}}$. Đường cong đi qua điểm $A\left(4, -\frac{11}{2}\right)$.

**(b)** Tìm phương trình của đường cong.

Số hạng thứ ba của một cấp số nhân (geometric progression) là 18 và tổng ba số hạng đầu là 26. Biết công bội (common ratio) là số âm.

**(a)** Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân. Làm tròn đáp án đến 3 chữ số có nghĩa.

Số hạng thứ ba của một cấp số nhân (geometric progression) là 18 và tổng ba số hạng đầu là 26. Biết công bội (common ratio) là số âm.

**(b)** Tìm giá trị chính xác của tổng vô hạn (sum to infinity) của cấp số nhân.

(Ở ý (a) đã tìm được $a = 32$ và $r = -\frac{3}{4}$.)

Hình vẽ cho đường cong $y = 5x^{\frac{3}{2}} - 20x$ và đường thẳng $y = x - 16$. Hoành độ các giao điểm của đường cong và đường thẳng là 1 và 16.

Tìm diện tích phần tô đậm nằm giữa đường cong và đường thẳng.

**(a)** Tìm ba số hạng đầu, theo lũy thừa tăng dần (ascending powers) của $x$, trong khai triển (expansion) của mỗi biểu thức sau.

**(i)** $(2 - px)^5$

**(a)** Tìm ba số hạng đầu, theo lũy thừa tăng dần (ascending powers) của $x$, trong khai triển (expansion) của mỗi biểu thức sau.

**(ii)** $\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4$

**(a)** Tìm ba số hạng đầu, theo lũy thừa tăng dần (ascending powers) của $x$, trong khai triển (expansion) của mỗi biểu thức sau.

**(b)** Biết hệ số (coefficient) của $x^2$ trong khai triển $(2 - px)^5\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4$ bằng 93, tìm các giá trị có thể của hằng số $p$.

(Ở ý (a) đã có $(2 - px)^5 = 32 - 80px + 80p^2x^2 + \ldots$ và $\left(1 - \frac{1}{2}x\right)^4 = 1 - 2x + \frac{3}{2}x^2 + \ldots$)

Một đường cong có phương trình $2x^2 - kxy + 2 = 0$ và một đường thẳng có phương trình $y = px + 3$, trong đó $k$ và $p$ là các hằng số.

**(a)** Cho $k = 2$ và $p = 11$, tìm tọa độ các giao điểm của đường cong và đường thẳng.

Một đường cong có phương trình $2x^2 - kxy + 2 = 0$ và một đường thẳng có phương trình $y = px + 3$, trong đó $k$ và $p$ là các hằng số.

**(b)** Giả sử thay vào đó $p = 4$, tìm tập các giá trị của $k$ để đường cong và đường thẳng không cắt nhau.

Một đường cong có phương trình $y = 4x^2 + \dfrac{9}{x^2} - 8$.

**(a)** Một điểm $P$ chuyển động trên đường cong sao cho tung độ của nó giảm với tốc độ 5 đơn vị mỗi giây.

Tìm tốc độ thay đổi (rate of change) của hoành độ điểm $P$ khi $x = 2$.

Một đường cong có phương trình $y = 4x^2 + \dfrac{9}{x^2} - 8$.

**(b)** Tìm tọa độ các điểm dừng (stationary points) của đường cong và xác định tính chất của chúng.

Đường tròn có phương trình $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ cắt đường thẳng $x = -2$ tại các điểm $P$ và $Q$.

Tìm diện tích tam giác tạo bởi các tiếp tuyến (tangents) của đường tròn tại $P$ và $Q$, và đường thẳng $x = -2$.

Hình vẽ cho hình quạt (sector) $ABC$ của đường tròn tâm $A$, bán kính $r$ cm. Góc $BAC$ bằng $\alpha$ radian, với $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$.

**(a)** Biết diện tích tam giác $ABC$ là $4\ \text{cm}^2$ và diện tích hình quạt $ABC$ là $8\alpha\ \text{cm}^2$.

Tìm giá trị chính xác của diện tích hình viên phân (segment) được tô đậm.

Hình vẽ cho hình quạt (sector) $ABC$ của đường tròn tâm $A$, bán kính $r$ cm. Góc $BAC$ bằng $\alpha$ radian, với $0 < \alpha < \frac{1}{2}\pi$.

**(b)** Giả sử thay vào đó độ dài dây cung $BC$ là $\dfrac{1}{\sqrt{2}}r$ cm nhưng diện tích tam giác $ABC$ vẫn là $4\ \text{cm}^2$.

Tìm diện tích hình viên phân được tô đậm. Làm tròn đáp án đến 3 chữ số có nghĩa.

Các hàm số f và g được xác định bởi

$\mathrm{f}(x) = \sqrt{x}$ với $x \geqslant 0$,

$\mathrm{g}(x) = 3\sqrt{x + 2} - 5$ với $x \geqslant -2$.

**(a)** Mô tả đầy đủ một dãy các phép biến hình (transformations) biến đồ thị $y = \mathrm{f}(x)$ thành đồ thị $y = \mathrm{g}(x)$. Nêu rõ thứ tự thực hiện các phép biến hình.

Các hàm số f và g được xác định bởi

$\mathrm{f}(x) = \sqrt{x}$ với $x \geqslant 0$,

$\mathrm{g}(x) = 3\sqrt{x + 2} - 5$ với $x \geqslant -2$.



Hình vẽ cho đồ thị $y = \mathrm{g}(x)$.

**(b)** Trên hình vẽ, phác họa đồ thị $y = \mathrm{g}^{-1}(x)$ cùng với đường thẳng đối xứng (mirror line) liên quan.

Các hàm số f và g được xác định bởi

$\mathrm{f}(x) = \sqrt{x}$ với $x \geqslant 0$,

$\mathrm{g}(x) = 3\sqrt{x + 2} - 5$ với $x \geqslant -2$.

**(c)** Tìm biểu thức của $\mathrm{g}^{-1}(x)$.

Các hàm số f và g được xác định bởi

$\mathrm{f}(x) = \sqrt{x}$ với $x \geqslant 0$,

$\mathrm{g}(x) = 3\sqrt{x + 2} - 5$ với $x \geqslant -2$.

**(d)** Nêu tập giá trị (range) của $\mathrm{g}^{-1}$.